ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅನಂತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ
ಆಸ್ಮಿನ್ ವಿಕಾರಃ ಖಹರೇಣ ರಾಶಾವಪಿ ಪ್ರವಿಷ್ಟೇಷ್ಟಪಿ ನಿಃಸೃತೇಷು |
ಬಹಷ್ವಪಿ ಸ್ಯಾಲ್ಸಯಸೃಷ್ಟಿಕಾಲೇ ಅನಂತೇ ಅಚ್ಯುತೇ ಭೂತಗಣೇಷು ಯದ್ವತ್ ||
- ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯನ "ಬೀಜಗಣಿತಂ"
"ಅನಂತನೂ ಅವ್ಯಯನೂ ಆದ ಪರಮಾತ್ಮನಿಂದ ಎಲ್ಲವೂ ಸೃಷ್ಟಿ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಪ್ರಳಯ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಪುನಃ ಆ ಅನಂತಾತ್ಮಕನಾದ ಪರಮಾತ್ಮನನ್ನೇ ಸೇರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಇವುಗಳಿಂದ ಆತನು ಏನೊಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ ಹೀಗೆಯೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಖಹರಕ್ಕೆ (ಅನಂತಕ್ಕೆ) ಕೂಡಿಸುವುದರಿಂದ ಅಥವಾ ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ ಏನೂ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಾಗುವುದಿಲ್ಲ."
ಹನ್ನೆರಡನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿದ್ದು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಖಗೋಳ ಶಾಸ್ತ್ರಗಳನ್ನು ಬೆಳೆಸಿ ಬೆಳಗಿಸಿದ ಕರ್ನಾಟಕದವನೇ ಆದ ಖ್ಯಾತಗಣಿತಜ್ಞ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯನು ಅನಂತದ ಗುಣವನ್ನು ಬಹಳ ಸ್ವಾರಸ್ಯವಾಗಿ ಈ ಮೇಲಿನ ಶ್ಲೋಕದಲ್ಲಿ ಆತನದೇ ಆದ ವಿಶೇಷವಾದ ಕಾವ್ಯಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಭಾಸ್ಕರನು ಅನಂತವನ್ನು "ಖಹರ" ಎಂದು ಕರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಖಹರ ಎಂದರೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುವಂತಹದು ಎಂದರ್ಥ.
"ಅನಂತದ ವಿಜ್ಞಾನವೇ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ" ಎಂದು ಖ್ಯಾತ ಗಣಿತಜ್ಞ ಹರ್ಮನ್ ವೈಲ್ ಬಣ್ಣಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಸಹಸ್ರಾರು ವರ್ಷಗಳಿಂದ ಅನಂತದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ತತ್ತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೂ ಮತ್ತು ನಿಸರ್ಗ ಪ್ರೇಮಿಗಳಿಗೂ ಬಹಳ ರೋಚಕವೂ ರೋಮಾಂಚಕಾರಿಯೂ ಆಗಿದೆ; ಅಂತೆಯೇ ಅಷ್ಟೇ ನಿಗೂಢವೂ ಅದ್ಭುತವೂ ಆಗಿದೆ.
ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸರ್ವಶ್ರೇಷ್ಠವೂ ಸರ್ವನಿಯಾಮಕವೂ ಆದ ಒಂದು ತತ್ತ್ವದಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ದೇವರಲ್ಲಿ) ನಂಬಿಕೆಯಿರುವವರು ಅದನ್ನು ಅಕ್ಷರವೂ, ಅವ್ಯಕ್ತವೂ ಮತ್ತು ಅನಂತವೂ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಉಪನಿಷತ್ತುಗಳ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇನ್ನು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಕಾಶವನ್ನೋ ಸಮುದ್ರವನ್ನೋ ಅಥವಾ ಮುಂದೆ ಮುಂದೆ ಸಾಗಿದಂತೆ ದೂರ ದೂರ ಸರಿಯುವ ದಿಗಂತವನ್ನೋ ಕಂಡಾಗ ಅನಂತವೂ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಮೈದೋರುವುದು. ಹಾಗೆಯೇ ಜೈನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿವಸ್ತುವೂ ಅನಂತಧರ್ಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ("ಅನಂತ ಧರ್ಮಾತ್ಮಕಂ ವಸ್ತು") ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅದ್ಯಪ್ರವರ್ತಕನಾದ ಆರ್ಯಭಟನು (ಕ್ರಿ.ಶ 476) ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿರುವ ತನ್ನ ಗ್ರಂಥ "ಆರ್ಯಭಟೀಯಂ'ನಲ್ಲಿ 'ಕಾಲವು ಅನಾದಿ ಮತ್ತು ಅನಂತ" ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತ. "ಆದರೂ ವ್ಯವಹಾರಾರ್ಥವಾಗಿ ಗ್ರಹನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಗತಿಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂದರ್ಭದ ಕಾಲವನ್ನು ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ" (ಕಾಲೋಯಂ ಅನಾದ್ಯನಂತೋ ಗ್ರಹಭೈರನುಮೀಯತೇ ಕ್ಷೇತ್ರೇ) ಎಂದು ತಿಳಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಆರ್ಯಭಟೀಯಂ ಕೃತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕಾರನಾದ ಮೊದಲನೇ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯನು (ಕ್ರಿ.ಶ 6 ನೇ ಶತಮಾನ) "ನಾಸ್ಯಾಂತೋ ನಾಸ್ಯಾದಿಃ | ವ್ಯವಹಾರಾರ್ಥಂ ಆದಿರಂತಶ್ಚ ಪರಿಕಲ್ಪಿತಃ" ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದಾನೆ.
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಕೆಲವು ತೊಡಕಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ "ಅನಂತ" ಎಂಬ ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಉಂಟಾಯಿತು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ( ಅದನ್ನೇ ಭಾಸ್ಕರನು "ಖಹರು" ಎಂದು ಕರೆದನು) ಏನು ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಬಹಳ ಹಳೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆ ಇದಕ್ಕೆ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವೇನೆಂದರೆ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದೇ ನಿಷೇಧ ಎಂದು ಆದ್ದರಿಂದ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಿರುವುದು ಒಂದು ನಿಷಿದ್ಧ ಹಾಗೂ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲದ ಪರಿಕರ್ಮ.
ಹೀಗಿದ್ದರೂ ಕೂಡ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಬಹುದು ಒಂದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಬರಬರುತ್ತ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಅಸ್ಥಿರ (ಚರ) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೊಣ ಛೇದವು ಕಡಿಮೆಯಾದಂತೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂಶವನ್ನುಳ್ಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಬೆಲೆಯೂ ಸೀಮಾತೀತವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಲೇ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಹೀಗೆಯೇ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರ ಹತ್ತಿರ ಸಮೀಪಿಸಿದಂತೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೌಲ್ಯವು "ಅನಂತ" (ಅಂದರೆ ಅಂತವಿಲ್ಲದ್ದು) ಎಂಬ ಸೀಮಾತೀತವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯೆಡೆಗೆ ಸಾಗುತ್ತದೆ.
ಬೃಹದಾರಣ್ಯಕೋಪನಿಷತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಪರಬ್ರಹ್ಮ ತತ್ತ್ವವನ್ನು ಕುರಿತು "ಇದಂ ಮಹದ್ಭೂತಂ ಅನಂತ ಅಪಾರಂ ವಿಜ್ಞಾನಘನ ಏವ" ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಶ್ರೀ ಶಂಕರ ಭಗವತ್ಪಾದರು ತಮ್ಮ ಭಾಷ್ಯದಲ್ಲಿ "...ಪ್ರಜ್ಞಾನಘನಂ ಅನಂತಂ ಅಪಾರಂ ಸ್ವಚ್ಛಂ ವ್ಯವತಿಷ್ಠತೇ" ಎಂಬುದಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ.
ಅನಂತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಎಂಟರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅಡ್ಡಡ್ಡವಾಗಿ ಮಲಗಿಸಿದರೆ ಬರುವ ಆಕಾರವನ್ನು (¸ ) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಪನಿಷತ್ತಿನ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಒಂದು ಶಾಂತಿ ಮಂತ್ರವು ಹೀಗೆದೆ :
ಓಂ ಪೂರ್ಣಮದಃ ಪೂರ್ಣಮಿದಂ ಪೂರ್ಣಾತ್ಪೂರ್ಣಮುದಚ್ಯತೇ |
ಪೂರ್ಣಸ್ಯ ಪೂರ್ಣಮಾದಾಯ ಪೂರ್ಣಮೇವಾವಶಿಷ್ಯತೇ ||
"ಓಂ, ಅದು ಪೂರ್ಣ, ಇದು ಪೂರ್ಣ, ಪೂರ್ಣದಿಂದ ಪೂರ್ಣವು ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದೆ. ಹೀಗೆ ಪೂರ್ಣದಿಂದ ಪೂರ್ಣವು ಹೊರಬಂದರೂ ಉಳಿದಿರುವುದು ಪೂರ್ಣವಾಗಿಯೇ ಇದೆ."
ಅನೇಕ ಇಂದಿನ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತ ಲೇಖಕರು "ಪೂರ್ಣ" ಎಂಬ ಶಬ್ದಕ್ಕೆ "ಅನಂತ" (ಇನ್ಫಿನಿಟಿ) ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುವ ವಾಡಿಕೆಯಿದೆ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಗಣಿತದ ಒಂದು ತೊಡಕೆಂದರೆ ಅನಂತದಿಂದ ಅನಂತವನ್ನು ಕಳೆದರೆ ಅನಂತವೇ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಈ ಅಂಶವು ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ತಪ್ಪಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಂತದಿಂದ ಅನಂತವನ್ನು ಕಳೆದರೆ (¸ ¸ ) ಬರುವುದು ಒಂದು "ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪ" ( ಇಂಡಿಟರ್ಮಿನೇಟ್ ಫಾರ್ಮ್) ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಪುನಃ ಅನಂತವಾಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.
ಹಾಗಲ್ಲದೆ, ಶಾಂತಿಮಂತ್ರದ "ಪೂರ್ಣ" ಎಂಬ ಶಬ್ದಕ್ಕೆ ಅನಂತದ ಬದಲು "ಶೂನ್ಯ" ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿದರೆ, "ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಕಳೆದರೆ ಶೂನ್ಯವೇ ಬರುತ್ತದೆ ( 0-0=0)" ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿಯೇ ಇದೆ ಈ ಅಂಶವನ್ನೇ "ಶೂನ್ಯವಾದೀ" ತತ್ತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳು (ನಿಹಿಲಿಸ್ಟ್‌ಸ್) ತಮ್ಮ ಸಿದ್ದಾಂತಕ್ಕೆ ಒಂದು ತಾರ್ಕಿಕವಾದ ಗಣಿತದ ಸಾಧನೆ ಎಂದು ತಮ್ಮ ಬೆನ್ನನ್ನು ತಾವೇ ತಟ್ಟಿಕೊಂಡು ಸಂತೋಷಪಟ್ಟರೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ!
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಶತಮಾನಗಳಷ್ಟು ಕಾಲ ಅನಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವೂ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವೂ ಆದ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಲೀ ಲಕ್ಷಣ ನಿರೂಪಣೆಯಾಗಲೀ ಇರಲಿಲ್ಲ ಇಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಂತದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಎಷ್ಟೋ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ತಾರ್ಕಿಕ ಅಸಂಗತಗಳೂ (ಪ್ಯಾರಡಾಕ್ಸಸ್) ತೊಡಕುಗಳೂ ಒದಗಿ ಬರುತ್ತಿದ್ದವು ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ತೊಡಕನ್ನು ಹೋಗಲಾಡಿಸಿ ಅದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಲಕ್ಷಣ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದ ಕೀರ್ತಿಯು ಕಳೆದ ಶತಮಾತನದಲ್ಲಿದ್ದ ಪ್ರಖ್ಯಾತ ಗಣಿತಜ್ಞ ಜಾರ್ಜ್‌ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ( 1845-1918) ಮಹಾಶಯನಿಗೆ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ ಈತನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವೂ ಆಧುನಿಕವೂ ಆಗಿರುವ "ಗಣಿಸಿದ್ಧಾಂತ"ವನ್ನು (ಸೆಟ್ ಥಿಯರಿ) ಸೃಷ್ಟಿಸಿ ಬೆಳೆಸಿದನು ಅನಂತದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಲಕ್ಷಣ ನಿರೂಪಣೆಗೆ ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಬಹಳವಾಗಿತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದಲೇ ಅಲ್ಲಿಯತನಕ ಅನಂತದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಆಖ್ಯೆಯು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲೇ ಇಲ್ಲ.
ಎರಡು ಗಣಗಳ ಮಧ್ಯೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಾದಿ ಸಂಬಂಧ ( one-to-one correspondence ) ಅಥವಾ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಇದ್ದರೆ ಅಂತಹ ಎರಡು ಗಣಗಳು "ಸಮಸಂಯೋಗಿ"ಗಳು (ಇಕ್ವಲೆಂಟ್) ಎಂದು ಹೇಳಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. A ಎಂಬುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಷ್ಟು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ ಉಳಿಯುವ ವಸ್ತುಗಳ ಗಣವನ್ನು B ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ ಆಗ B ಗಣವು A ಗಣದ ಒಂದು ಉಪಗಣವಾಗುತ್ತದೆ ಈಗ A ಗಣಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಅದರ ಉಪಗಣವಾದ B ಇವೆರಡರ ಮಧ್ಯೆ ಪರಸ್ಪರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಆದ್ದರಿಂದ A ಮತ್ತು B ಗಣಗಳು ಸಮಸಂಯೋಗಿಗಳಾಗಲಾರವು.
ಎರಡು ಸಮಸಂಯೋಗಿ ಗಣಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ; ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆ ಗಣಗಳ "ಆಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆ" (ಅಥವಾ "ಮೂಲಾಂಕ" - ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ನಂಬರ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದೇ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗಣದ ಆಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳ ಗಣದ ಅಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯು 2 ಹೀಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಷ್ಟು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಗಣದ ಅಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಆ ಗಣದಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗರುತ್ತದೆ.
ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಗಣವು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣಕ್ಕೆ ಸಮಸಂಯೋಗಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂತಹ ಗಣವು - "ಪ್ರಗಣನೀಯ" (ಡೆನ್ಯುಮರೆಬಲ್) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಒಂದು ಪ್ರಗಣನೀಯ ಗಣದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ ಅದರ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದು, ಎರಡನೆಯದು ಮುಂತಾಗಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು ಒಂದರ ಹಿಂದೆ ಇನ್ನೊಂದರಂತೆ ವಸ್ತುಗಳ "ಅನಂತ ಮೆರಮಣಿಗೆ" ಸಾಧ್ಯ. ಉದಾಹರಣಗೆಗೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ರ್ಯಾಷನಲ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಗಣವು ಪ್ರಗಣನೀಯವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಇರ್ಯ್ರಷನಲ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಗಣವು ಪ್ರಗಣನೀಯವಲ್ಲ ಅಂದರೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಒಂದರಂತೆ ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಇಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ 2 ಮತ್ತು 3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು p (ಪೈ) ಮುಂತಾದವುಗಳು ಯಾವುದೇ ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಅದರ ವ್ಯಾಸದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಬರುವ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ p ಪೈ.
ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ N ಎಂಬುದು 1,2,3..... ಮುಂತಾದ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ ಅಂತೆಯೇ E ಎಂಬುವುದು 2,4,6.... ಮುಂತಾದ ಧನ ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಈವನ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಗಣವಾಗಿರಲಿ E ಗಣದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು N ಗಣದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ರಿಂದ 2 ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ N ಮತ್ತು E ಗಣಗಳ ಮಧ್ಯೆ ಪರಸ್ಪರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಈ ಎರಡು ಗಣಗಳು ಸಮಸಂಯೋಗಿಯಾಗಿವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಎರಡು ಗಣಗಳ ಅಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ E ಗಣದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) N ಗಣದ ಒಂದು "ಉಪಗಣ" (ಸಬ್‌ಸೆಟ್‌) ಇಲ್ಲಿ N ಗಣಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಉಪಗಣಕ್ಕೂ ಪರಸ್ಪರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ (ಸಮ ಸಂಯೋಗಿ ಸಂಬಂಧ) ಇದೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲೇ "ಅನಂತ"ದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯು ರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ N ಮತ್ತು E ಗಣಗಳ ಅಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತವೆಂದು ಹೇಳಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.
ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಗಣವು ಅದರ ಒಂದು ಉಪಗಣದೊಂದಿಗೆ ಸಮಸಂಯೋಗಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಗಣದ ಅಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ "ಅನಂತ" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.
ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ವಾರಸ್ಯದ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಹಾಗೂ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಇವೆರಡೂ ಅನಂತಗಣಗಳೇ ಆಗಿದ್ದರೂ ಕೂಡ ಅವೆರಡರ ಮಧ್ಯೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಾದಿ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣದ ಅಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ ಅನಂತವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣದ ಆಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ ಅನಂತಕ್ಕಿಂತಲೂ ಬಹಳ ಹೆಚ್ಚಿನ "ದರ್ಜೆ"ಯದು ಆಂದರೆ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಂತಗಳಲ್ಲೂ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಎಂಬ ತಾರತಮ್ಯ ಉಂಟು!
ಒಂದು ಅನಂತ ಗಣದ "ಪ್ರಗಣನೀಯತೆ"ಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಒಂದು ಸ್ವಾರಸ್ಯವಾದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ (ರ್ಯಾಷನಲ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಹಾಗೂ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ (ಇರ್ಯ್ರಾಷನಲ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಒಂದು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಡಿಗ್ರಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಕುಳಿತುಕೊಂಡವಂತೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹೊರಬಂದಾಗ ಎಲ್ಲ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಪಾಸಾಗಿದ್ದವಂತೆ ಹಾಗೂ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಫೇಲಾಗಿದ್ದವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಫೇಲಾದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮುಷ್ಕರ ಹೂಡಿದವು ಆಗ ಉಪಕುಲಪತಿಗಳು ಅವರನ್ನು ಸಮಾಧಾನ ಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತ ಹೇಳಿದರಂತೆ "ನೀವೇಕೆ ನಮ್ಮ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಬಗ್ಗೆ ಇಷ್ಟೊಂದು ನಿರಾಶರಾಗಿ ರೋಸಿಹೋಗಿದ್ದೀರಿ? ಅಷ್ಟಕ್ಕೂ ಪಾಸಾದವರ ಸಂಖ್ಯೆ ಕೂಡ ಅನಂತವಾಗಿಯೇ ಇದೆ ಇದು ಆಶಾದಾಯಕವಾದ ವಿಷಯವಲ್ಲವೆ?" ಎಂದು ಆದರೆ ಫೇಲಾದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾಧಾನವಾಗಲಿಲ್ಲ ಅವರ ಪ್ರಕಾರ ಫೇಲಾದವರ ಸಂಖ್ಯೆ ಶೇಕಡ 100ಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರ ಹತ್ತಿರವಾಗಿಯೇ ಇತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಆ ನತದೃಷ್ಟ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಚುನಾವಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಗಿನ್ನು ಸೋತು ನಿರುದ್ಯೋಗಿಗಳಾದ ಪುಢಾರಿಗಳನ್ನು ಮುಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಉಪಕುಲಪತಿಗಳ ಬಳಿಗೆ ತೀವ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿಭಟಿಸಲು ಸಾಲಾಗಿ ಮೆರವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಧಾವಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು ಆದರೆ ಈಗ ಅವರಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರಾಶೆ ಕಾದಿತ್ತು ಅವರು ಎಷ್ಟೇ ಪ್ರಯತ್ನಪಟ್ಟರೂ ಕೂಡ ಒಬ್ಬರ ಹಿಂದೆ ಒಬ್ಬರು ನಿಲ್ಲಲ್ಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಆಗಿರಲಿಲ್ಲ; ಅವರ "ಅನಂತ ಮೆರವಣಿಗೆ" ಕೇವಲ ಕನಸಿನ ಮಾತಾಯಿತು ಕಾರಣ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ರಗಣನೀಯವಲ್ಲ!
ಮರುವರ್ಷದ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅದಲು ಬದಲು ಆಗಿ ಬಂದವು ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಫೇಲಾದವು ಹಾಗೂ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪಾಸಾದವು ಪಾಸಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂತೋಷಕ್ಕೆ ಪಾರವೇ ಇರಲಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಈ ಸಂತೋಷವು ಬಹಳ ಹೊತ್ತು ಉಳಿಯಲಿಲ್ಲ ನತದೃಷ್ಟವಾದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಆಘಾತ ಕಾದಿತ್ತು ಅವರು ತಮ್ಮ ಡಿಗ್ರಿಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಪದವಿಪ್ರದಾನ ಸಮಾರಂಭಕ್ಕೆ (ಕಾನ್ವೋಕೇಷನ್) ಹೋಗಬೇಕಿತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಗೈರು ಹಾಜರಿಯಲ್ಲಾದರೂ (ಇನ್ ಆಬ್ಸೆಂಷಿಯಾ) ಪಡೆಯಬಹುದಾಗಿತ್ತು.
ಪದವಿಪ್ರದಾನ ಸಮಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು ಒಬ್ಬರಾದ ಮೇಲೆ ಒಬ್ಬರು ತಮ್ಮ ಡಿಗ್ರಿ ಸರ್ಟಿಫಿಕೇಟನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಅತಿಥಿಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬೇಕಾಗಿತ್ತು ಆದರೆ ಪ್ರಗಣನೀಯವಲ್ಲದ ಅಭಾಗ್ಯರಾದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇದು ಹೇಗೆ ತಾನೆ ಸಾಧ್ಯ? ಹೋಗಲಿ ಗೈರುಹಾಜರಿಯಲ್ಲೇ ಡಿಗ್ರಿಯನ್ನು ಪಡೆಯೋಣವೆಂದರೆ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಕಚೇರಿಯವರು ಪ್ರಮಾಣ ಪತ್ರಗಳನ್ನೂ ಒಂದಾದ ಮೇಲೆ ಒಂದರಂತೆ ಬರೆಯಬೇಕಿತ್ತಷ್ಟೆ! ಇದೂ ಕೂಡ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಸ್ವಾರಸ್ಯವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅನಂತದ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಹೊರಬಂದಿವೆ; ಕೆಲವು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ "ಅಸಂಗತ"ಗಳೂ (ಪ್ಯಾರಾಡಾಕ್ಸಸ್) ಇವೆ. ಅವುಗಳ ಪೈಕಿ "ಜಿನೋವಿನ ಅಸಂಗತ" ಬಹಳ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ. ಜೀನೋ ಕ್ರಿ.ಪೂ ಐದನೇ ಶತಮಾನದ ಖ್ಯಾತ ತತ್ತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಹಾಗೂ ಗಣಿತಜ್ಞ ಆತನ "ಆಚಿಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಒಂದು ಆಮೆ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ ಆಚಿಲಿಸ್ ಗಿಂತ ವೇಗವು ಆಮೆಯ ವೇಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಆಮೆಗಿಂತ ಹಿಂದಿರುವ ಅಚಿಲಿಸ ಆಮೆಯನ್ನು ದಾಟಿ ಹೋಗಬೇಕಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲು ಆಮೆಯು ತನ್ನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಬಿಂದುವನ್ನು (p) ದಾಟಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಆತನು p ಬಿಂದುವಿಗೆ ಬರುವಷ್ಟರಲ್ಲಿ ಆಮೆಯು ಮುಂದಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾದ p1 ಎಂಬಲ್ಲಿಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತದೆ ಅಚಿಲಿಸ್ p1 ಬಳಿಗೆ ಬರುವಷ್ಟರಲ್ಲಿ ಆಮೆಯು ಇನ್ನೂ ಮುಂದಿನ ಒಂದು ಬಿಂದು p2 ತಲುಪಿರುತ್ತದೆ ಇನ್ನು ಅಚಿಲಿಸ್ p2 ಬಳಿಗೆ ಬರುವಷ್ಟರಲ್ಲಿ ಆಮೆಯು ಇನ್ನು ಮುಂದಿನ ಒಂದು ಬಿಂದು p3 ತನಕ ಚಲಿಸಿರುತ್ತದೆ ಹೀಗೆ ಅಚಿಲಿಸ್ ಆಮೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವಷ್ಟರಲ್ಲಿ ಆಮೆಯು ಸ್ವಲ್ಪದರಲ್ಲೇ ಮುಂದು ಮುಂದು ಸಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅಚಿಲಿಸ್ ಆಮೆಯನ್ನು ದಾಟಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಇಲ್ಲ!
ಹಾಗೆಯೇ ಖ್ಯಾತ ತತ್ತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಹಾಗೂ ಗಣಿತಜ್ಞ ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ ರಸಲ್ ಅವರ "ಟ್ರೈಸ್ಟ್ರಂ ಶ್ಯಾಂಡಿ ಅಸಂಗತ" ಮುಂತಾದ ಅನೇಕ ಸ್ವಾರಸ್ಯಕರವಾದ ಅಸಂಗತಗಳು ಅನಂತದ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಹೊರಬಂದಿವೆ.
"ಅನಂತದ ಸ್ವರಮೇಳವೇ (ಸಿಂಪೊನಿ) ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತ" ಎಂದು ಈ ಶತಮಾನದ ಪ್ರಖ್ಯಾತ ಗಣಿತಜ್ಞ ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್‌ ಅನಂತವನ್ನು ಬಣ್ಣಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಅನಂತದ ಮಹತ್ವವು ನಿಜಕ್ಕೂ ಅನಂತವಾಗಿಯೇ ಇದೆ!
ಬಹಷ್ವಪಿ ಸ್ಯಾಲ್ಸಯಸೃಷ್ಟಿಕಾಲೇ ಅನಂತೇ ಅಚ್ಯುತೇ ಭೂತಗಣೇಷು ಯದ್ವತ್ ||
- ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯನ "ಬೀಜಗಣಿತಂ"
"ಅನಂತನೂ ಅವ್ಯಯನೂ ಆದ ಪರಮಾತ್ಮನಿಂದ ಎಲ್ಲವೂ ಸೃಷ್ಟಿ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಪ್ರಳಯ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಪುನಃ ಆ ಅನಂತಾತ್ಮಕನಾದ ಪರಮಾತ್ಮನನ್ನೇ ಸೇರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಇವುಗಳಿಂದ ಆತನು ಏನೊಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ ಹೀಗೆಯೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಖಹರಕ್ಕೆ (ಅನಂತಕ್ಕೆ) ಕೂಡಿಸುವುದರಿಂದ ಅಥವಾ ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ ಏನೂ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಾಗುವುದಿಲ್ಲ."
ಹನ್ನೆರಡನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿದ್ದು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಖಗೋಳ ಶಾಸ್ತ್ರಗಳನ್ನು ಬೆಳೆಸಿ ಬೆಳಗಿಸಿದ ಕರ್ನಾಟಕದವನೇ ಆದ ಖ್ಯಾತಗಣಿತಜ್ಞ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯನು ಅನಂತದ ಗುಣವನ್ನು ಬಹಳ ಸ್ವಾರಸ್ಯವಾಗಿ ಈ ಮೇಲಿನ ಶ್ಲೋಕದಲ್ಲಿ ಆತನದೇ ಆದ ವಿಶೇಷವಾದ ಕಾವ್ಯಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಭಾಸ್ಕರನು ಅನಂತವನ್ನು "ಖಹರ" ಎಂದು ಕರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಖಹರ ಎಂದರೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುವಂತಹದು ಎಂದರ್ಥ.
"ಅನಂತದ ವಿಜ್ಞಾನವೇ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ" ಎಂದು ಖ್ಯಾತ ಗಣಿತಜ್ಞ ಹರ್ಮನ್ ವೈಲ್ ಬಣ್ಣಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಸಹಸ್ರಾರು ವರ್ಷಗಳಿಂದ ಅನಂತದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ತತ್ತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೂ ಮತ್ತು ನಿಸರ್ಗ ಪ್ರೇಮಿಗಳಿಗೂ ಬಹಳ ರೋಚಕವೂ ರೋಮಾಂಚಕಾರಿಯೂ ಆಗಿದೆ; ಅಂತೆಯೇ ಅಷ್ಟೇ ನಿಗೂಢವೂ ಅದ್ಭುತವೂ ಆಗಿದೆ.
ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸರ್ವಶ್ರೇಷ್ಠವೂ ಸರ್ವನಿಯಾಮಕವೂ ಆದ ಒಂದು ತತ್ತ್ವದಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ದೇವರಲ್ಲಿ) ನಂಬಿಕೆಯಿರುವವರು ಅದನ್ನು ಅಕ್ಷರವೂ, ಅವ್ಯಕ್ತವೂ ಮತ್ತು ಅನಂತವೂ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಉಪನಿಷತ್ತುಗಳ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇನ್ನು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಕಾಶವನ್ನೋ ಸಮುದ್ರವನ್ನೋ ಅಥವಾ ಮುಂದೆ ಮುಂದೆ ಸಾಗಿದಂತೆ ದೂರ ದೂರ ಸರಿಯುವ ದಿಗಂತವನ್ನೋ ಕಂಡಾಗ ಅನಂತವೂ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಮೈದೋರುವುದು. ಹಾಗೆಯೇ ಜೈನ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿವಸ್ತುವೂ ಅನಂತಧರ್ಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ("ಅನಂತ ಧರ್ಮಾತ್ಮಕಂ ವಸ್ತು") ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅದ್ಯಪ್ರವರ್ತಕನಾದ ಆರ್ಯಭಟನು (ಕ್ರಿ.ಶ 476) ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿರುವ ತನ್ನ ಗ್ರಂಥ "ಆರ್ಯಭಟೀಯಂ'ನಲ್ಲಿ 'ಕಾಲವು ಅನಾದಿ ಮತ್ತು ಅನಂತ" ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತ. "ಆದರೂ ವ್ಯವಹಾರಾರ್ಥವಾಗಿ ಗ್ರಹನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಗತಿಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂದರ್ಭದ ಕಾಲವನ್ನು ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ" (ಕಾಲೋಯಂ ಅನಾದ್ಯನಂತೋ ಗ್ರಹಭೈರನುಮೀಯತೇ ಕ್ಷೇತ್ರೇ) ಎಂದು ತಿಳಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಆರ್ಯಭಟೀಯಂ ಕೃತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕಾರನಾದ ಮೊದಲನೇ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯನು (ಕ್ರಿ.ಶ 6 ನೇ ಶತಮಾನ) "ನಾಸ್ಯಾಂತೋ ನಾಸ್ಯಾದಿಃ | ವ್ಯವಹಾರಾರ್ಥಂ ಆದಿರಂತಶ್ಚ ಪರಿಕಲ್ಪಿತಃ" ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದಾನೆ.
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಕೆಲವು ತೊಡಕಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ "ಅನಂತ" ಎಂಬ ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಉಂಟಾಯಿತು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ( ಅದನ್ನೇ ಭಾಸ್ಕರನು "ಖಹರು" ಎಂದು ಕರೆದನು) ಏನು ಬರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಬಹಳ ಹಳೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆ ಇದಕ್ಕೆ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವೇನೆಂದರೆ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದೇ ನಿಷೇಧ ಎಂದು ಆದ್ದರಿಂದ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಿರುವುದು ಒಂದು ನಿಷಿದ್ಧ ಹಾಗೂ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲದ ಪರಿಕರ್ಮ.
ಹೀಗಿದ್ದರೂ ಕೂಡ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಬಹುದು ಒಂದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಬರಬರುತ್ತ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಅಸ್ಥಿರ (ಚರ) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೊಣ ಛೇದವು ಕಡಿಮೆಯಾದಂತೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂಶವನ್ನುಳ್ಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಬೆಲೆಯೂ ಸೀಮಾತೀತವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಲೇ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಹೀಗೆಯೇ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರ ಹತ್ತಿರ ಸಮೀಪಿಸಿದಂತೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೌಲ್ಯವು "ಅನಂತ" (ಅಂದರೆ ಅಂತವಿಲ್ಲದ್ದು) ಎಂಬ ಸೀಮಾತೀತವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯೆಡೆಗೆ ಸಾಗುತ್ತದೆ.
ಬೃಹದಾರಣ್ಯಕೋಪನಿಷತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಪರಬ್ರಹ್ಮ ತತ್ತ್ವವನ್ನು ಕುರಿತು "ಇದಂ ಮಹದ್ಭೂತಂ ಅನಂತ ಅಪಾರಂ ವಿಜ್ಞಾನಘನ ಏವ" ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಶ್ರೀ ಶಂಕರ ಭಗವತ್ಪಾದರು ತಮ್ಮ ಭಾಷ್ಯದಲ್ಲಿ "...ಪ್ರಜ್ಞಾನಘನಂ ಅನಂತಂ ಅಪಾರಂ ಸ್ವಚ್ಛಂ ವ್ಯವತಿಷ್ಠತೇ" ಎಂಬುದಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ.
ಅನಂತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಎಂಟರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅಡ್ಡಡ್ಡವಾಗಿ ಮಲಗಿಸಿದರೆ ಬರುವ ಆಕಾರವನ್ನು (¸ ) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಪನಿಷತ್ತಿನ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಒಂದು ಶಾಂತಿ ಮಂತ್ರವು ಹೀಗೆದೆ :
ಓಂ ಪೂರ್ಣಮದಃ ಪೂರ್ಣಮಿದಂ ಪೂರ್ಣಾತ್ಪೂರ್ಣಮುದಚ್ಯತೇ |
ಪೂರ್ಣಸ್ಯ ಪೂರ್ಣಮಾದಾಯ ಪೂರ್ಣಮೇವಾವಶಿಷ್ಯತೇ ||
"ಓಂ, ಅದು ಪೂರ್ಣ, ಇದು ಪೂರ್ಣ, ಪೂರ್ಣದಿಂದ ಪೂರ್ಣವು ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದೆ. ಹೀಗೆ ಪೂರ್ಣದಿಂದ ಪೂರ್ಣವು ಹೊರಬಂದರೂ ಉಳಿದಿರುವುದು ಪೂರ್ಣವಾಗಿಯೇ ಇದೆ."
ಅನೇಕ ಇಂದಿನ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತ ಲೇಖಕರು "ಪೂರ್ಣ" ಎಂಬ ಶಬ್ದಕ್ಕೆ "ಅನಂತ" (ಇನ್ಫಿನಿಟಿ) ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುವ ವಾಡಿಕೆಯಿದೆ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಗಣಿತದ ಒಂದು ತೊಡಕೆಂದರೆ ಅನಂತದಿಂದ ಅನಂತವನ್ನು ಕಳೆದರೆ ಅನಂತವೇ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಈ ಅಂಶವು ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ತಪ್ಪಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಂತದಿಂದ ಅನಂತವನ್ನು ಕಳೆದರೆ (¸ ¸ ) ಬರುವುದು ಒಂದು "ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪ" ( ಇಂಡಿಟರ್ಮಿನೇಟ್ ಫಾರ್ಮ್) ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಪುನಃ ಅನಂತವಾಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.
ಹಾಗಲ್ಲದೆ, ಶಾಂತಿಮಂತ್ರದ "ಪೂರ್ಣ" ಎಂಬ ಶಬ್ದಕ್ಕೆ ಅನಂತದ ಬದಲು "ಶೂನ್ಯ" ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿದರೆ, "ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಕಳೆದರೆ ಶೂನ್ಯವೇ ಬರುತ್ತದೆ ( 0-0=0)" ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿಯೇ ಇದೆ ಈ ಅಂಶವನ್ನೇ "ಶೂನ್ಯವಾದೀ" ತತ್ತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳು (ನಿಹಿಲಿಸ್ಟ್‌ಸ್) ತಮ್ಮ ಸಿದ್ದಾಂತಕ್ಕೆ ಒಂದು ತಾರ್ಕಿಕವಾದ ಗಣಿತದ ಸಾಧನೆ ಎಂದು ತಮ್ಮ ಬೆನ್ನನ್ನು ತಾವೇ ತಟ್ಟಿಕೊಂಡು ಸಂತೋಷಪಟ್ಟರೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ!
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಶತಮಾನಗಳಷ್ಟು ಕಾಲ ಅನಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವೂ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವೂ ಆದ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಲೀ ಲಕ್ಷಣ ನಿರೂಪಣೆಯಾಗಲೀ ಇರಲಿಲ್ಲ ಇಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಂತದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಎಷ್ಟೋ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ತಾರ್ಕಿಕ ಅಸಂಗತಗಳೂ (ಪ್ಯಾರಡಾಕ್ಸಸ್) ತೊಡಕುಗಳೂ ಒದಗಿ ಬರುತ್ತಿದ್ದವು ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ತೊಡಕನ್ನು ಹೋಗಲಾಡಿಸಿ ಅದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಲಕ್ಷಣ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದ ಕೀರ್ತಿಯು ಕಳೆದ ಶತಮಾತನದಲ್ಲಿದ್ದ ಪ್ರಖ್ಯಾತ ಗಣಿತಜ್ಞ ಜಾರ್ಜ್‌ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ( 1845-1918) ಮಹಾಶಯನಿಗೆ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ ಈತನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವೂ ಆಧುನಿಕವೂ ಆಗಿರುವ "ಗಣಿಸಿದ್ಧಾಂತ"ವನ್ನು (ಸೆಟ್ ಥಿಯರಿ) ಸೃಷ್ಟಿಸಿ ಬೆಳೆಸಿದನು ಅನಂತದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಲಕ್ಷಣ ನಿರೂಪಣೆಗೆ ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಬಹಳವಾಗಿತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದಲೇ ಅಲ್ಲಿಯತನಕ ಅನಂತದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಆಖ್ಯೆಯು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲೇ ಇಲ್ಲ.
ಎರಡು ಗಣಗಳ ಮಧ್ಯೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಾದಿ ಸಂಬಂಧ ( one-to-one correspondence ) ಅಥವಾ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಇದ್ದರೆ ಅಂತಹ ಎರಡು ಗಣಗಳು "ಸಮಸಂಯೋಗಿ"ಗಳು (ಇಕ್ವಲೆಂಟ್) ಎಂದು ಹೇಳಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. A ಎಂಬುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಷ್ಟು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ ಉಳಿಯುವ ವಸ್ತುಗಳ ಗಣವನ್ನು B ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ ಆಗ B ಗಣವು A ಗಣದ ಒಂದು ಉಪಗಣವಾಗುತ್ತದೆ ಈಗ A ಗಣಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಅದರ ಉಪಗಣವಾದ B ಇವೆರಡರ ಮಧ್ಯೆ ಪರಸ್ಪರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಆದ್ದರಿಂದ A ಮತ್ತು B ಗಣಗಳು ಸಮಸಂಯೋಗಿಗಳಾಗಲಾರವು.
ಎರಡು ಸಮಸಂಯೋಗಿ ಗಣಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ; ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆ ಗಣಗಳ "ಆಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆ" (ಅಥವಾ "ಮೂಲಾಂಕ" - ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ನಂಬರ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದೇ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗಣದ ಆಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳ ಗಣದ ಅಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯು 2 ಹೀಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಷ್ಟು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಗಣದ ಅಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಆ ಗಣದಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗರುತ್ತದೆ.
ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಗಣವು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣಕ್ಕೆ ಸಮಸಂಯೋಗಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂತಹ ಗಣವು - "ಪ್ರಗಣನೀಯ" (ಡೆನ್ಯುಮರೆಬಲ್) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಒಂದು ಪ್ರಗಣನೀಯ ಗಣದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ ಅದರ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದು, ಎರಡನೆಯದು ಮುಂತಾಗಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು ಒಂದರ ಹಿಂದೆ ಇನ್ನೊಂದರಂತೆ ವಸ್ತುಗಳ "ಅನಂತ ಮೆರಮಣಿಗೆ" ಸಾಧ್ಯ. ಉದಾಹರಣಗೆಗೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ರ್ಯಾಷನಲ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಗಣವು ಪ್ರಗಣನೀಯವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಇರ್ಯ್ರಷನಲ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಗಣವು ಪ್ರಗಣನೀಯವಲ್ಲ ಅಂದರೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಒಂದರಂತೆ ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಇಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ 2 ಮತ್ತು 3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು p (ಪೈ) ಮುಂತಾದವುಗಳು ಯಾವುದೇ ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಅದರ ವ್ಯಾಸದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಬರುವ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ p ಪೈ.
ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ N ಎಂಬುದು 1,2,3..... ಮುಂತಾದ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ ಅಂತೆಯೇ E ಎಂಬುವುದು 2,4,6.... ಮುಂತಾದ ಧನ ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಈವನ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಗಣವಾಗಿರಲಿ E ಗಣದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು N ಗಣದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ರಿಂದ 2 ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ N ಮತ್ತು E ಗಣಗಳ ಮಧ್ಯೆ ಪರಸ್ಪರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಈ ಎರಡು ಗಣಗಳು ಸಮಸಂಯೋಗಿಯಾಗಿವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಎರಡು ಗಣಗಳ ಅಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ E ಗಣದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) N ಗಣದ ಒಂದು "ಉಪಗಣ" (ಸಬ್‌ಸೆಟ್‌) ಇಲ್ಲಿ N ಗಣಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಉಪಗಣಕ್ಕೂ ಪರಸ್ಪರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ (ಸಮ ಸಂಯೋಗಿ ಸಂಬಂಧ) ಇದೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲೇ "ಅನಂತ"ದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯು ರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ N ಮತ್ತು E ಗಣಗಳ ಅಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತವೆಂದು ಹೇಳಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.
ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಗಣವು ಅದರ ಒಂದು ಉಪಗಣದೊಂದಿಗೆ ಸಮಸಂಯೋಗಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಗಣದ ಅಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ "ಅನಂತ" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.
ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ವಾರಸ್ಯದ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಹಾಗೂ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಇವೆರಡೂ ಅನಂತಗಣಗಳೇ ಆಗಿದ್ದರೂ ಕೂಡ ಅವೆರಡರ ಮಧ್ಯೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಾದಿ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣದ ಅಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ ಅನಂತವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣದ ಆಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ ಅನಂತಕ್ಕಿಂತಲೂ ಬಹಳ ಹೆಚ್ಚಿನ "ದರ್ಜೆ"ಯದು ಆಂದರೆ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಂತಗಳಲ್ಲೂ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಎಂಬ ತಾರತಮ್ಯ ಉಂಟು!
ಒಂದು ಅನಂತ ಗಣದ "ಪ್ರಗಣನೀಯತೆ"ಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಒಂದು ಸ್ವಾರಸ್ಯವಾದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ (ರ್ಯಾಷನಲ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಹಾಗೂ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ (ಇರ್ಯ್ರಾಷನಲ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಒಂದು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಡಿಗ್ರಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಕುಳಿತುಕೊಂಡವಂತೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹೊರಬಂದಾಗ ಎಲ್ಲ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಪಾಸಾಗಿದ್ದವಂತೆ ಹಾಗೂ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಫೇಲಾಗಿದ್ದವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಫೇಲಾದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮುಷ್ಕರ ಹೂಡಿದವು ಆಗ ಉಪಕುಲಪತಿಗಳು ಅವರನ್ನು ಸಮಾಧಾನ ಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತ ಹೇಳಿದರಂತೆ "ನೀವೇಕೆ ನಮ್ಮ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಬಗ್ಗೆ ಇಷ್ಟೊಂದು ನಿರಾಶರಾಗಿ ರೋಸಿಹೋಗಿದ್ದೀರಿ? ಅಷ್ಟಕ್ಕೂ ಪಾಸಾದವರ ಸಂಖ್ಯೆ ಕೂಡ ಅನಂತವಾಗಿಯೇ ಇದೆ ಇದು ಆಶಾದಾಯಕವಾದ ವಿಷಯವಲ್ಲವೆ?" ಎಂದು ಆದರೆ ಫೇಲಾದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾಧಾನವಾಗಲಿಲ್ಲ ಅವರ ಪ್ರಕಾರ ಫೇಲಾದವರ ಸಂಖ್ಯೆ ಶೇಕಡ 100ಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರ ಹತ್ತಿರವಾಗಿಯೇ ಇತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಆ ನತದೃಷ್ಟ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಚುನಾವಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಗಿನ್ನು ಸೋತು ನಿರುದ್ಯೋಗಿಗಳಾದ ಪುಢಾರಿಗಳನ್ನು ಮುಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಉಪಕುಲಪತಿಗಳ ಬಳಿಗೆ ತೀವ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿಭಟಿಸಲು ಸಾಲಾಗಿ ಮೆರವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಧಾವಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು ಆದರೆ ಈಗ ಅವರಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರಾಶೆ ಕಾದಿತ್ತು ಅವರು ಎಷ್ಟೇ ಪ್ರಯತ್ನಪಟ್ಟರೂ ಕೂಡ ಒಬ್ಬರ ಹಿಂದೆ ಒಬ್ಬರು ನಿಲ್ಲಲ್ಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಆಗಿರಲಿಲ್ಲ; ಅವರ "ಅನಂತ ಮೆರವಣಿಗೆ" ಕೇವಲ ಕನಸಿನ ಮಾತಾಯಿತು ಕಾರಣ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ರಗಣನೀಯವಲ್ಲ!
ಮರುವರ್ಷದ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅದಲು ಬದಲು ಆಗಿ ಬಂದವು ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಫೇಲಾದವು ಹಾಗೂ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪಾಸಾದವು ಪಾಸಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂತೋಷಕ್ಕೆ ಪಾರವೇ ಇರಲಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಈ ಸಂತೋಷವು ಬಹಳ ಹೊತ್ತು ಉಳಿಯಲಿಲ್ಲ ನತದೃಷ್ಟವಾದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಆಘಾತ ಕಾದಿತ್ತು ಅವರು ತಮ್ಮ ಡಿಗ್ರಿಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಪದವಿಪ್ರದಾನ ಸಮಾರಂಭಕ್ಕೆ (ಕಾನ್ವೋಕೇಷನ್) ಹೋಗಬೇಕಿತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಗೈರು ಹಾಜರಿಯಲ್ಲಾದರೂ (ಇನ್ ಆಬ್ಸೆಂಷಿಯಾ) ಪಡೆಯಬಹುದಾಗಿತ್ತು.
ಪದವಿಪ್ರದಾನ ಸಮಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳು ಒಬ್ಬರಾದ ಮೇಲೆ ಒಬ್ಬರು ತಮ್ಮ ಡಿಗ್ರಿ ಸರ್ಟಿಫಿಕೇಟನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಅತಿಥಿಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬೇಕಾಗಿತ್ತು ಆದರೆ ಪ್ರಗಣನೀಯವಲ್ಲದ ಅಭಾಗ್ಯರಾದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇದು ಹೇಗೆ ತಾನೆ ಸಾಧ್ಯ? ಹೋಗಲಿ ಗೈರುಹಾಜರಿಯಲ್ಲೇ ಡಿಗ್ರಿಯನ್ನು ಪಡೆಯೋಣವೆಂದರೆ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಕಚೇರಿಯವರು ಪ್ರಮಾಣ ಪತ್ರಗಳನ್ನೂ ಒಂದಾದ ಮೇಲೆ ಒಂದರಂತೆ ಬರೆಯಬೇಕಿತ್ತಷ್ಟೆ! ಇದೂ ಕೂಡ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಸ್ವಾರಸ್ಯವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅನಂತದ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಹೊರಬಂದಿವೆ; ಕೆಲವು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ "ಅಸಂಗತ"ಗಳೂ (ಪ್ಯಾರಾಡಾಕ್ಸಸ್) ಇವೆ. ಅವುಗಳ ಪೈಕಿ "ಜಿನೋವಿನ ಅಸಂಗತ" ಬಹಳ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ. ಜೀನೋ ಕ್ರಿ.ಪೂ ಐದನೇ ಶತಮಾನದ ಖ್ಯಾತ ತತ್ತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಹಾಗೂ ಗಣಿತಜ್ಞ ಆತನ "ಆಚಿಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಒಂದು ಆಮೆ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ ಆಚಿಲಿಸ್ ಗಿಂತ ವೇಗವು ಆಮೆಯ ವೇಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಆಮೆಗಿಂತ ಹಿಂದಿರುವ ಅಚಿಲಿಸ ಆಮೆಯನ್ನು ದಾಟಿ ಹೋಗಬೇಕಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲು ಆಮೆಯು ತನ್ನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಬಿಂದುವನ್ನು (p) ದಾಟಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಆತನು p ಬಿಂದುವಿಗೆ ಬರುವಷ್ಟರಲ್ಲಿ ಆಮೆಯು ಮುಂದಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾದ p1 ಎಂಬಲ್ಲಿಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತದೆ ಅಚಿಲಿಸ್ p1 ಬಳಿಗೆ ಬರುವಷ್ಟರಲ್ಲಿ ಆಮೆಯು ಇನ್ನೂ ಮುಂದಿನ ಒಂದು ಬಿಂದು p2 ತಲುಪಿರುತ್ತದೆ ಇನ್ನು ಅಚಿಲಿಸ್ p2 ಬಳಿಗೆ ಬರುವಷ್ಟರಲ್ಲಿ ಆಮೆಯು ಇನ್ನು ಮುಂದಿನ ಒಂದು ಬಿಂದು p3 ತನಕ ಚಲಿಸಿರುತ್ತದೆ ಹೀಗೆ ಅಚಿಲಿಸ್ ಆಮೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವಷ್ಟರಲ್ಲಿ ಆಮೆಯು ಸ್ವಲ್ಪದರಲ್ಲೇ ಮುಂದು ಮುಂದು ಸಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅಚಿಲಿಸ್ ಆಮೆಯನ್ನು ದಾಟಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಇಲ್ಲ!
ಹಾಗೆಯೇ ಖ್ಯಾತ ತತ್ತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಹಾಗೂ ಗಣಿತಜ್ಞ ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ ರಸಲ್ ಅವರ "ಟ್ರೈಸ್ಟ್ರಂ ಶ್ಯಾಂಡಿ ಅಸಂಗತ" ಮುಂತಾದ ಅನೇಕ ಸ್ವಾರಸ್ಯಕರವಾದ ಅಸಂಗತಗಳು ಅನಂತದ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಹೊರಬಂದಿವೆ.
"ಅನಂತದ ಸ್ವರಮೇಳವೇ (ಸಿಂಪೊನಿ) ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತ" ಎಂದು ಈ ಶತಮಾನದ ಪ್ರಖ್ಯಾತ ಗಣಿತಜ್ಞ ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್‌ ಅನಂತವನ್ನು ಬಣ್ಣಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಅನಂತದ ಮಹತ್ವವು ನಿಜಕ್ಕೂ ಅನಂತವಾಗಿಯೇ ಇದೆ!
Very good and nice information. Dhanyavaadagalu.
ReplyDelete